中国通史 第七卷-中古时代－五代辽宋夏金时期 43(第6页/共30页)


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了一种普遍的列方程的方法，即“天元术”，从而为元代在天元术、四元术等方面取得重大成就奠定了基础。

    第一节贾宪三角贾宪是北宋时期的杰出数学家。关于他的生平，现在仅知，他是当时著名数学家和天文学家楚衍的弟子，曾以寄禄官左班殿直至司天监（后改太史局）任等官职，撰有《黄帝九章算法细草》9 卷、《算法 古集》2 卷，但都已失传。据有人研究，贾宪《黄帝九章算法细草》约写于天圣元年（1023）至皇祐二年（1050）之间①。从南宋数学家杨辉《详解九章算法》所附《九章算法纂类》（1261）记载的该书部分内容可知，其中提出了著名的“开方作法本源”图以及立成释锁开平方法、立成释锁开立方法和增乘开方法等。① 《册府元龟》卷869。

    ② 《旧五代史》卷4。

    ③ 《新五代史》卷30。

    ④ 《宋史》卷481。

    ① 钱宝琮主编：《中国数学史》，科学出版社1964 年版，第145 页。

    图1 开方作法本源图开方作法本源图（图1）①，是一个由数字构成的三角形数表，现称“贾宪三角”，因见于杨辉著作，故亦曾称“杨辉三角”，实际上即指数为正整数的二项式定理系数表。杨辉曾明确指出：这个图系“出释锁算书，贾宪用此术。”图下五句说明文字的意思是说图中各行数字为开方过程中的各项系数以及具体的开方方法。元代数学家朱世杰《四元玉鉴》记载的“古法七乘方图”（图2），又在贾宪三角中增添了许多连线，更进一步表示出二项式（x＋a）n 展开式各项系数之间的关系。贾宪三角是数学史上的重大发现，它在数学的许多领域都有极其重要的应用。15 世纪中亚数学家阿尔·卡西（Al—Kāshī）也曾给出二项式定理系数表，此后，这张图表又被德国数学家阿皮安努斯（P.Apianus，1527），施蒂费尔（M.Stifel，1544），意大利数学家塔尔塔利亚（N.Tartaglia，1556）和法国数学家帕斯卡（E.Pascal，1654）等图2 古法七乘方图讨论过，并被西方数学家称为“帕斯卡三角”，但这些数学家都比11 世纪的贾宪晚很多年才获得这一成果。

    杨辉《九章算法纂类》还载有贾宪立成释锁开平方法和开立方法。“立成”是唐以后天文学家对推算各种数据时所用数表的通称，“释锁”在宋元数学家著作中则指开方和解数字方程。因此，贾宪的立成释锁法应是利用一种数表来解决开平方、开立方乃至开高次方问题的方法，而这种数表很可能就是他提出的开方作法本源图。但据《九章算法纂类》所载，其演算步骤则与《九章算术》少广章开平方术和开立方术基本相同。

    第二节增乘开方法贾宪的又一重要数学成就是根据开方作法本源图的构造原理创造了增乘开方法。用这种方法开平方和开立方要比《九章算术》少广章的方法简便得多，并且其运算原则可以推广到求任何高次幂和高次方程正实根的近似值。贾宪用此法解决了求x2＝A，x4＝A 等的近似值问题。在宋代有不少数学家对解方程问题进行研究。如据杨辉《田亩比类乘除捷法》所载，刘益在《议古根源》（全书已佚，杨辉书收有其二十多个算题）中提出了“正负开方术”，所论方程系数可正可负，取消了以前对方程系数只允许为正整数的限制，并讨论了x2-ax＝A 和-x2＋ax＝A（a＞0，A＞0）的数值解法，把方程论（包括增乘开方法）推进了重要的一步。但是总的说来这些工作属于初创，还不够完整和系统。

    南宋数学家秦九韶创造性地继承和发展了前人的先进成就，提出了一套完整的正负开方术程序，成功地将增乘开方法运用于求一般高次方程：a0xn＋a1xn-1＋a2xn-2＋.an-1x＋an＝0（an＜O，a0≠0）

    的数值解。他在《数书九章》中列举了二十多个解方程问题，次数最高达十次；除一般方法外，还讨论了“投胎”、“换骨”、“玲珑”、“同体连枝”① 见中华书局影印本《永乐大典》卷16344 所收杨辉《详解（九章）算法》。等特殊情形；并将其方法广泛应用于面积、体积、测量等方面的实际问题，从而在高次方程数值解法问题上，达到了当时世界数学的最高水平。

    增乘开方法的特点是在演算过程中自下而上随乘随加，求出各项系数，进行方程变换，逐步求出方程正根的各位数字，其演算程序具有很强的机械性，可以毫无困难地转化为计算机程序。在西方，关于高次方程数值解法的探讨，经历了漫长的历史过程，直到1804 年，意大利数学家鲁非尼（P.Ruffini）才创立了一种逐次近似法用以解决数字高次方程解的近似值问题，并为此获得了意大利科学协会颁发的金质奖章，而在1819 年英国数学家霍纳（W.G.Horner）才提出与增乘开方法演算步骤基本一致的算法，后被称为“霍纳法”。但是，他们已经比秦九韶晚了五百多年，并且其原始方法也没有秦九韶法简捷明确。在现代
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