中国通史 第七卷-中古时代－五代辽宋夏金时期 43(第7页/共30页)


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一些计算数学著作中已将这种高次方程数值解法改称“秦九韶法”。

    第三节大衍求一术大衍求一术是中国古代数学家用于解决一次同余组问题的方法。这类问题与历法中关于“上元积年”的推算有着密切的关系。在中国古代，天文学家们假定远古时有一年的十一月初一甲子日夜半又恰好是合朔和那一年的冬至，并把这一时刻定为历法计算的起点，称为“历元”。从该年到编历年所经过的总年数，就叫做“上元积年”。已知编历年实测冬至时刻和十一月初一合朔时刻推算上元积年，就是求解一次同余组问题。西汉历法中已有上元积年的数据，但没有算法的记载。由于当时问题比较简单，所以其算法也不会太难。南北朝时期《孙子算经》中的“物不知数问题”（亦称“孙子问题”），是最早见于中国数学文献的一次同余组问题，但其解法很不完备。随着天文历法的发展，天文学家对历元又提出了“日月合璧，五星联珠”等要求，于是推算上元积年的条件更为复杂，求解有关同余组也就需要更高的技巧。显然，从两汉到宋朝的千余年中，一定会有很多天文学家和数学家曾研究并很熟悉一次同余组的解法，但可惜的是在有关文献中除一些数据外却没有更多的记载。南宋数学家秦九韶系统地总结和发展了前人的贡献，在《数书九章》中创立“大衍求一术”，提出关于一次同余组问题的相当完整的理论和算法，并且推广其应用范围，取得了举世公认的杰出成就。他所著的《数书九章》，曾称《数学大略》、《数学九章》，全书18 卷，分9 类，每类9 题共81 个应用问题，其内容涉及天文历法、土地面积、勾股测量、建筑工程、田赋户税、商业贸易、货币金融、军事活动等丰富内容，是一部可与《九章算术》相媲美的数学名著。

    《数书九章》所载大衍求一术的大意是，设要求解一次同余组：x≡ri（modmi）（其中i＝1，2，3，.，n）

    秦九韶把求最小正整数x 的问题归结为求出一组数ki，使之满足条件：kiMmi≡1（modmi），（i＝1，2，3.，n）

    其中M＝m1·m2·.·mn，ki 称为“乘率”。于是，一次同余组的最小正整数解x=（r1k1Mm1＋r2k2Mm2＋.＋rnknMmn）—pM（p 为非负整数）

    这就是现在数论中著名的“孙子定理”。秦九韶详细论述了用辗转相除推算ki 的方法，由于运算的最后一步要出现余数1，因而称为“求一术”。他又进一步将其与《易经·系辞》中的“大衍之数”附会起来，而称之为“大衍求一术”（现在一般通指一次同余组解法）。此外，他还分别讨论了模数m1、m2、.、mn 两两互素和不互素的情形，并给出了相应的变换方法。在欧洲，直到18、19 世纪，著名数学家欧拉（L.Euler，1743）和高斯（C.F.Gauss，1801）等才对一般同余组解法进行了深入研究，获得与秦九韶相同的结果，并且对模数两两互素的情形给出了严格的证明。这已经是秦九韶以后500 年的事情了。在数学史上，上述定理过去称为“中国剩余定理”，现多改称“孙子剩余定理”或“孙子定理”。

    第四节垛积术在中国古代，对于一般等差数列和等比数列，很早就有了初步的研究成果，如《九章算术》、《张丘建算经》等都提出了一些有关等差级数求公差及求和的公式。北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中又首创“隙积术”，开始研究某种物品（如酒坛、圆球、棋子等）按一定方式堆积起来求其总数问题，即高阶等差级数的求和方法。设一个长方台垛的上广（顶层宽）为a（个物体），长为b，下广（底层宽）为c，长为d，高共有n 层，则沈括的结果相当于得到长方台形垛积物体总数：S＝ab+(a+1)(b+1)+(a+2)(b+2)+.+[a+(n-1)][b+(n-1)]＝n6[(2b+d)a+(2d+b)c]+n 6(c-a).关于这个结果，沈括仅说：“予思而得之”①，但他没有详细说明是用什么方法求得这一正确的长方台垛公式的。南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，丰富和发展了沈括的成果，提出了诸如S nnn nsn nn n n= + + + + = + += + + + + ++= + +1 2 361 2 11 3 6 10121 61 22 2 2 2 LL( )( ),( )( )( )之类的菓子垛和三角垛求和公式。沈括、杨辉等讨论的级数与一般等差级数不同，它们前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差相等。对这类高阶等差级数的研究，沈括称为“隙积术”，杨辉之后则一般称为“垛积术”，后来成为一项重要的研究课题，吸引不少数学家从事这方面的工作。如元代数学家朱世杰就得到了一系列更复杂的高阶等差级数求和公式，并把垛积术与招差术（高次内插法）联系起来，对后世产生了很大影响。清代数学家顾观光指出：“堆垛之术详于杨氏、朱氏二书，而创始之功，断推沈氏。”① 《梦溪笔谈》卷18。
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